근의 공식 없이 삼차방정식을 풀 수 있을까?
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  • 25.03.09 01:42

결론부터 말하면 가능한 경우가 있긴 있다.

1. 세 근의 평균이 세 근 중 하나이다.
즉, 삼차식이 (x - a)(x - b)(x - c) 일 때, (a + b + c)/3이 a, b, c 중애 하나라는 뜻이다.

x³ + bx² + cx + d = 0에서 세 근의 평균은 -b/3 이다.

이차방정식 때처럼 근과 계수의 관계를 살펴보자.
p + q + r = -b
pq + pr + qr = c
pqr = -d

여기서 r을 평균이라고 하자.

p + q + -b/3 = -b
p + q = -2b/3

자, 여기서 한 가지 개념을 알고 가자.
세 수가 주어졌을 때, 그 평균과 수들의 관계를 살펴보자.
수직선에 그려봐도 좋고, 그냥 글로 써도 좋다.
2, 3, 7이 있을 때 평균은 4이다.
수직선에 표시하면 평균을 기준으로 왼쪽에 2, 3. 오른쪽에 7이 있다.(이 방향은 중요하지 않으니 무시해도 좋다.)
2와 평균의 거리는 2, 3과 평균의 거리는 1이다. 왼쪽에서 수와 평균까지의 거리의 합은 3이다.
마찬가지로 오른쪽도 보면 7과 4의 거리는 3이다.

즉, 평균을 기준으로 양방향에 위치한 숫자들의 각각의 합은 동일하다는 것이다.
(이상하게 설명해서 미안하다. 간단하게 말하면 각 방향에서 숫자들의 거리의 합이 같다는 말이다.)

이 현상은 모든 평균에서 일어난다.
수의 개수가 5이든, 10이든, 100이든.
평균을 기준으로 오른쪽 수들의 거리의 합과 왼쪽 수들의 거리의 합은 같다.
궁금하면 직접 해보길 바란다.

그리고 우린 지금 그런 형태 중 가장 간단한 형태를 살펴보고 있다.
바로 평균이 세 수 중 하나인 경우.
양쪽과의 거리가 그냥 같은 경우.

그렇다는 것은, p와 q를 조금 다르게 쓸 수 있다.
p = r - t
q = r + t
(p < q, t > 0)

p + q = -2b/3
이 식을 이용해 수학적으로 성립함을 알 수 있다.
(r - t) + (r + t)= 2r = 2(-b/3) = -2b/3

크게 중요한 이야기는 아니니 넘어가자.
pqr = -d 이다.
이를 좀 가공하자.
pq(-b/3) = -d
pq(b/3) = d
(r - t)(r + t)(b/3) = d
점점 식이 복잡해진다. 하지만 간단해 보이기도 한다.
b/3을 r로 나타내면
-r(r - t)(r + t) = d
전개하면
-r(r² - t²) = d
-r³ + 2rt² = d
정말 정말 보기 싫고 원하지 않지만 단순화를 위해 조금만 더 가공해보자.
rt² = d + r³
t² = d/r + r²
t = ±sqrt(d/r + r²)
t가 구해졌다.
이차방정식 때처럼 해를 구할 수 있다!

r을 평균으로 나타내 다시 쓰면

t² = d/(b/3) + b²/3 = 3d/b + b²/3
t = ±sqrt(3d/b + b²/3)

꼴 보기 싫다.

아무튼 대충 t가 구해졌으니 p와 q도 구할 수 있다.
즉, x를 완전히 구할 수 있다.
x = b/3, b/3 ± sqrt(d/r + r²)

실제로 풀어보면
x³ - 9x² + 23x - 15
인수분해를 이용해 답 부터 구해보겠다.
(x - 5)(x - 3)(x - 1)
평균은 3, 거리(t)는 2이다.

직접 확인해보자.

t² = -15 / 3 + 3² = -5 + 9 = 4
t = ±2

x = 3, 3±2 = 1, 3, 5

실제로도 풀린다.
인수분해가 불가능한 경우는 직접 해보시길....

지금까지의 과정을 보면 알겠지만, 시작부터 평균을 사용했기에(즉, -b/3을 사용했기에) 실수값만 구할 수 있다.
즉, 허근을 구할 수는 없다는 뜻이다.

나는 허수에 아주 익숙해진 사람이지만, 허근을 다루는 건 너무 복잡한 일이니 내가 허근을 직접 만질 때가 오면 한 번 연구해보겠다.

2. 평균을 기준으로 왼쪽에 두 근이 있는 경우.
아니, 평균을 기준으로 한쪽에 두 근이 있는 경우.
이 경우는 위에 거 응용이다.

세 근 중 하나는 평균에서 가장 근접할 것이다.
p, q, r 중에서 가장 가까운 자가 r이고 p < q인 상황에서 두 갈래로 나뉜다.
r < -b/3, r > -b/3
r이 p에 가깝냐, q에 가깝냐.

둘 다 시도해보겠다.

이후 나오는 모든 이야기의 조건은 p < r < q 이다.

2-1. p에 가까운 경우.
r < -b/3인 경우.
(-b/3와 r의 거리) + (-b/3와 p의 거리) = (-b/3와 q의 거리)
처음에 말했던 기본 개념이다.
두 점 사이의 거리, 하지만 수직선인 1차원이기에 그냥 차이다.
즉, (-b/3 - r) + (-b/3 - p) = q - (-b/3)이다.
이 점을 잘 이용해 풀 수 있을지도 모른다.
역시 시작은 p + q + r을 다시 쓰는 것으로 시작하자.
위의 식을 다시 써 보자.
-r - p -2b/3 = q + b/3
p + q + r = -b
어...?
원점이다. 뭔가 잘못됐다.
이런 상태에서 문제를 풀 수는 없다.
이번엔 다른 걸 이용해보자.
pq + pr + qr = c를 이용하는 것이다!

젠장! 머리가 안 돌아간다!
아무리 생각해도 저런 조건에서 문제를 풀기가 너무 어려워진다.
아니면 아예 답이 없을지도 모른다.
답 없는 문제를 풀고 있는 것일까?
그건 아닐 것이라고 생각한다. 아니, 그래야만 한다.

이 내용에 대해선 아직 나도 연구중인 내용이다.
추후 연구가 끝나면 결과를 알려주겠다.


댓글 10

대치동 스킬에 대한 내용 같은데

그게 뭐죠 😅


진짜 미친놈인가?

정상인이었으면 음....


근의 공식 안쓰고 걍 공식 써서 풀면 돼지 않나

공식 이용이 불가능한 경우야??


죄송해요 뭔말인지 모르겟ㄷ어요^__^


예 쌤 뭔말인지 하나도 모르겠고 머리아파요

이차방정식을 아는데 모르는 건 문제가 있지만 모른다면 문제 없음

초딩입니다 ㅋㅋㅎ

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