허수 시리즈 1

루트(-1)
-1의 제곱근이다.
어떤 숫자의 제곱이 -1이 되는 수.

□를 선택해보자.
□ × □ = □² = -1이다.
처음 제곱을 배운 사람은 의외로 간단할 것이라 예상하고 해당 방정식에 들이댄다.
"결과가 음수이니 과정에도 음수가 들어갈 것이다!" 라고 당당히 외쳐 □에 -1을 넣었으나
-1 × (-1) = (-1)² = 1
결과에 -1이 나오지 않았다.

□를 구할 수 없다.

하지만 수학에서 답이 없는 문제가 나오는 건 아주아주 불편한 일이 아니다.
페르마의 마지막 정리도 '해가 없다.'라는 명확한 '답'이 있지 않은가.

그래서 우리는 새로운 걸 만들어냈다.

x² = -1을 성립시키는 x의 값.
것은 허수라고도 불리는 숫자다.

𝑖

i는 다음과 같은 성질을 가진다.
i² = -1
제곱하면 -1이 되는 수. 그것이 바로 허수 i다.

이 i를 가지고 놀아보자.

(a + i)² = a² + 2ai + i² = a² + 2ai - 1
(a + i)(a - i) = a² - i² = a² + 1

완전제곱식도, 합차식도 뭔가 이상하다.
평범히 알던 부호가 아닌 다른 부호를 쓴다.

이상한 점은 한두가지가 아니다.

i = 루트(-1)
i² = -1
i³ = -루트(-1)
i⁴ = 1
i⁵ = 루트(-1) = i

루트(1)을 x라 하고 같은 과정을 거치면

x = 루트(1)
x² = 1
x³ = 루트(1) = x

이런식으로 2를 기준으로 사이클을 돈다

하지만 i의 n제곱들은 4를 기준으로 사이클을 돈다.

i도 결국 문자다.
4a, 7x, 9z 처럼 앞에 숫자를 붙일 순 없을까?
당연히 가능하다.

4i, 3i, 1.5i
루트의 성질에 따라 각각
루트(-16), 루트(-9), 루트(-2.25)가 된다.

또한 1 + 루트(3)과 비슷한 형태를 취할 수도 있다.
해당 수는 유리수부분과 무리수부분이 나뉘어진 것으로 볼 수 있다.

허수도 동일하게 실수부분과 허수부분으로 나눌 수 있다.
a + bi
이것이 바로 '복소수'라 불리는 놈이다.
(a를 '실수부', bi를 '허수부'라 부른다.)

복소수 z = a + bi를 좌표평면에 나타낼 수는 없을까?

허수를 표현하기 위해 우린 '복소평면'이라는 것을 사용할 수 있다.
기존의 y축을 허수축으로 바꾸면, 즉 1, 2, 3...을 i, 2i, 3i로 바꾸면 된다.
그러면 복소수 z의 좌표는 (a, bi)가 된다.

피타고라스의 정리를 이용하여 원점 또는 다른 복소수와의 거리를 구할 수 있는데, 원점만 알아보자.

표기는 |z|로 하며, |z| = 루트(a² + b²)이 된다.

a² + b²
이 형태는 어디서 많이 본 것 같다.
x² + y²
이는 원 방정식과 동일하다.
|z|는 거리이니 양변을 제곱하면
|z|² = a² + b²
즉, 복소평면에서 원을 하나 그릴 수 있다.
이때 |z|²이 1이 될 때 그려지는 원을 단위원(Unit Circle)이라 한다.

복소수의 사칙연산은 정말 다행히도 i에 루트(-1)을 대입하여 정리할 수 있다.
복접한 과정은 또 없다.

신기하지 않은가?
일반적인 1과는 달리 부호가 달라지고, 제곱 또한 4를 기준으로 사이클을 돌며, 연산이 매우 간단하기까지 하다.

앞으로 이 허수를 가지고 많이 놀아볼 것이다.