삼차방정식의 새로운 판별식
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  • 25.03.20 20:06

ax³ + bx² + cx + d = 0이라는 삼차방정식의 판별식 D는
b²c² - 4ac³ -4b³d - 27a²d² + 18abcd
이다.

보기만 해도 더럽지만, 저 D에 따라 근의 성질이 달라지기에 아주 미세하게나마 중요한 개념이다.
이차방정식에서도 판별식 보다는 덜 중요하지만.

D > 0일 때 세 실근을 가짐
D = 0일 때 중근을 가짐
D < 0일 때 한 실근과 두 허근을 가짐

하지만 이와 똑같은 역할을 하는 판별식이 있다.

b²/9 - 3d/b

해당 판별식은 내가 발견한 "세 근이 등차수열을 이룰 때 삼차방정식의 근"을 구하는 과정에서 생겨남.
그 근은 -b/3, -b/3 ± sqrt(b²/9 - 3d/b) 인데, 여기서 저 판별식에 따라 근의 성질이 나옴.
0보다 크면 루트 안이 양수이니 세 실근, 0이면 루트 안이 0이니 근은 하나(즉, 중근), 0보다 작으면 루트 안이 음수이니 두 허근과 실근 하나.

??? : 세 근이 등차수열을 안 이룰 때는?

Desmos를 이용해 실험한 결과, 근이 중근을 가지거나 2개인 경우엔 무조건 성립하지 않으며, 해당 판별식에 존재치 않는 c에 따라존달라질 수가 있음.


댓글 5

지리네..


근데 이러면 b가 0일때는 안되는 건가요

그리고 저 식이 성립하려면 어떤 삼차함수에서 a와 c가 변하더라도 x축과의 교점에 개수가 변하지 않아야 하는데 그것은 불가능하지 않나요

*교점의

일단 a는 1로 만들어 b/a = b', c/a = c'으로 바꾸어 계산한 것으로 생각합니다. 간단하게 말하면 a는 1로 생각하니 변화를 생각할 필요는 없습니다.
확실히 c에 대해선 근의 개수가 변하네요. 해당 예외에 대해 진심으로 감사드립니다.

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