오류 정정 및 새로운 것
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- 25.06.27 22:14
내가 삼각함수를 이해한 방법 공유
https://academy.prompie.com/s/S1NUKcVw
해당 글에서 수정 예정인 오류는 "기울어진 정도."이다.
수정 '예정'인 이유는, 내가 이해했던 당시 그 느낌을 형용할 방법을 아직 찾지 못했기 때문이다.
사실 기울어진 정도라는 건 탄젠트이다.(기울어진 정도 = 기울기 = 수직변화량/수평변화량 = sin/cos)
이 점은 대충 넘어가고
수정하지 않을 또 다른 오류는, 삼각함수 미분의 4 사이클과 허수의 4 사이클을 연관짓는 것이다.
또한 한 가지 더, 나는 삼각함수를 공부하기 전에 미분을 먼저 공부했다.
삼각함수가 미적분 필수 선행 과정이라면서 미분보다 어려웠다.
당시 난 "미분을 배우기 전에는 삼각함수를 배울 수 없다."라고 했는데, 이게 너무 과장된 표현이라 정정하고자 한다.
"미분을 배우기 전에는, 삼각함수의 '근본'을 이해할 수 없다."
수정하지 않을 오류라고 했던 4 사이클은, 내가 오일러 등식을 제대로 뜯어보면서 확실히 알 수 있게 되었다.
결론부터 말하자면 '삼각함수의 미분'과 '허수의 제곱'은 '표면적으로는' 전혀 관계가 없었다.
외세를 끌여들이면(?) 관계가 아예 없는 것은 아니었다.
오일러 등식 e^ipi + 1 = 0
e^ix 의 그래프에 x값으로 pi를 대입한 결과.
e^ix = cos x + i sin x로 정의된다
여기에 양 변을 미분하면
ie^ix = -sin x + i cos x
이 된다. 그리고 이 값은 양변에 i를 곱한
ie^ix = i cos x - sin x
와 동일한 결과를 낸다.
i의 4사이클과 삼각함수 미분의 4 사이클은 직접적인 관계는 없다.
하지만 '단위원'이라는 개념이 더해지면 꽤나 그럴듯한 관계가 생긴다.
물론 난 여기서도 4 사이클의 관계를 찾지는 못하였다.
복소수에 i를 곱하면 90도 회전이다.
sin과 cos을 미분하면 각각 90도 회전이다.
복소수는 a + bi로 나타내고
삼각함수가 이루는 점은 (cos theta, sin theta)로 표현된다
복소수는 절댓값 개념을 사용하면 원의 개념을 사용할 수 있고
삼각함수는 애초에 원에서 비롯된 원함수이다.
복소수와 삼각함수는 둘 다 원을 끼워넣으면 공통점이 상당히 많아진다.
그리고 복소수(허수)에 원을 끼워넣으려면 오일러등식을 들여야한다.
여기서 내가 잘못 알고있는 것이 있을지도 모르겠다. 책에서 본 잡지식을 짜집기해서 나온 결과물이니
그냥 삼각함수송 들을게요
와... 진짜 상상도 못했네요
사실 e^iz를 미분해서 ie^iz가 된다는 그 점이 이미 'i 사이클과 삼각함수 미분 사이클의 직접적인 관계'이기는 해요
d/dz라는 선형 연산자에 대해 e^iz 자체가 고윳값으로 i를 가지고, i는 위수가 4이기 때문에 삼각함수(e^iz의 실수부와 허수부)를 미분할 때에도 주기 4가 생기는 것이죠
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