두 가지 방법이 있다.

1. x^x = a
i^i은 e^-𝝅/2로, 실수다.
허수의 허수 제곱이 실수로 나타내어진다.
그럼 정말 실수 값을 구할 수가 없을까?

x^x = a에서 x값을 구하는 방법이 존재한다.
양 변에 로그를 취하면
x ln x = ln a
ln x를 t로 치환하면
te^t = ln a가 된다.

형태가 비슷한 함수를 하나 찾아보자.
y = f(x) = xe^x
이 함수의 역함수를 구하면
x = f^-1(y) = ye^y
하지만 이렇게 나타내면 도저히 감이 안 잡히니 새로운 걸 도입해야 한다.
바로 람베르트 W 함수라고 불리는 f(x) = xe^x의 역함수이다.
W(x) = f^-1(y)
여기서의 x는 x^x = a에서의 x와는 다른 값이다.

te^t = ln a를 W 함수를 이용해서 t에 대해 풀어보자.

람베르트 W 함수는 W(x)e^W(x) = x를 만족한다.
두 식을 일렬로 놓아보자.

W(x)e^W(x) = x
te^t = ln a

첫 번째 식의 x들을 전부 ln a로 바꾸면
t = W(ln a)

t는 전에 ln x를 치환한 것이다.
ln x = t = W(ln a)

그러면
x = e^W(ln a)
가 된다.

x에 i를, a에 i^i를 대입하면
i = e^W(ln(e^-𝝅/2))
가 된다.

ln(e^-𝝅/2)≈-1.57079633
대충 직접 구해서 넣어보면 되겠지만, 아쉽게도 람베르트 w 함수는 이름값을 제대로 하는 함수이기 때문에(?)
아니아니
초등함수가 아닌 특수함수이기 때문에 정확한 값을 도출해내기는 어렵다.
무엇보다, 아래 사진을 보면 람베르트 w 함수의 그래프에선 -1 미만의 값이 정의되지 않는다.
즉, 람베르트 w 함수에서 -1.5어쩌구의 값이 없으므로 나타낼 수가 없다.

2. e^i𝝅 = -1
오일러 어쩌구에 직접 대입하는 것이다.
e^i𝝅 = (e^𝝅)^i
여기서 i를 x로 바꿔 x에 대한 지수 방정식으로 바꿔주면
(e^𝝅)^x = -1
이 된다.

실제로 이 짓거리를 해서 근사값을 구한 사람이 있다.
https://playentry.org/project/676bdbda40922bdd74fb11f1